1量子ビットの状態は行列を用いると、
\begin{align}
|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{align}
と表すことができる。

また、古典的なビットと違うところは
\begin{align}
|\psi \rangle = \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}
\end{align}
という重ね合わせの状態も可能な点である。

そして、前に述べたように、この状態ベクトルの時間変化が演算であるので、
演算はユニタリー変換となる。

ユニタリー変換を1ビットの状態を基底として行列で表せば、1ビットの場合
\begin{align}
U=\begin{pmatrix} \langle 0|U|0 \rangle & \langle 0|U|1 \rangle \\
\langle 1|U|0 \rangle & \langle 1|U|1 \rangle
\end{pmatrix}
\end{align}
と書ける。

このように状態と演算を行列で表せば、状態がユニタリー変換によってどう変わるか、
すなわち、量子ビットがどのように演算されるかが、以下のように書くことができる。
\begin{align}
& U×入力側の状態ベクトル=出力側の状態ベクトル \notag \\
% & U(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle)=\alpha U|0\rangle +\beta U|1\rangle \\
& \begin{pmatrix} \langle 0|U|0 \rangle & \langle 0|U|1 \rangle \\
\langle 1|U|0 \rangle & \langle 1|U|1 \rangle
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \langle 0|U|0 \rangle \alpha + \langle 0|U|1 \rangle \beta \\
\langle 1|U|0 \rangle \alpha + \langle 1|U|1 \rangle \beta
\end{pmatrix}
\end{align}
次に、いくつかの1ビットの変換を見ていく。


・NOTゲート

$|0\rangle$と$|1\rangle$を入れ替える演算である。行列では
\begin{align}
X=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
と表すことができる。

実際に計算すれば、初期状態を$|0\rangle$として、
\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{align}
と出力が$|1\rangle$となり、反転されていることがわかる。(図1.3)


clip007.jpg

図1.3:NOTゲート

・アダマール変換

$|0\rangle$と$|1\rangle$の重ね合わせ状態を実現するゲートである。
行列では
\begin{align}
H=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 1 & -1
\end{pmatrix}
\end{align}
とあらわされる。

例えば入力が$|0\rangle$であるとすると、
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{align}
と重ねあわせの状態$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$が出力される。


clip008.jpg

図1.4:アダマール変換


・1ビットの任意のユニタリー変換

1ビットの任意のユニタリー変換は、
1ビットの任意の変換がユニタリーである条件$U^{\dagger}U=1$より、
以下のように表すことができる。(付録A)
\begin{align}
\begin{pmatrix}
ae^{i(b-c+d)} & -(1-a^2)^{\frac{1}{2}}e^{ib} \\
(1-a^2)^{\frac{1}{2}}e^{id} & ae^{ic}
\end{pmatrix}
\end{align}
ここで、$a,b,c,d$は任意の実数である。

また変数を変換すれば、任意のユニタリー変換は
\begin{align}
&\begin{pmatrix}
\cos \frac{\beta}{2} e^{-i(\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}+\delta)}
& -\sin \frac{\beta}{2} e^{-i(\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}+\delta)} \\
\sin \frac{\beta}{2} e^{i(\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}+\delta)}
& \cos \frac{\beta}{2} e^{i(\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}+\delta)}
\end{pmatrix} \\
=& \begin{pmatrix} e^{i\delta} & 0 \\ 0 & e^{i\delta} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\alpha}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\alpha}{2}} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \cos \frac{\beta}{2} & -\sin \frac{\beta}{2} \\
\sin \frac{\beta}{2} & \cos \frac{\beta}{2} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\gamma}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\gamma}{2}} \end{pmatrix} \\
=& \Phi (\delta) R_z (\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma)
\end{align}
とも表すことができる。

ここで$\alpha,\gamma,\beta,\delta$は任意の実数であり、
\begin{align}
&\Phi(\delta)=\begin{pmatrix} e^{i\delta} & 0 \\ 0 & e^{i\delta} \end{pmatrix} \\
&R_z(\alpha)=\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\alpha}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\alpha}{2}} \end{pmatrix} \\
&R_y(\beta)=\begin{pmatrix} \cos \frac{\beta}{2} & -\sin \frac{\beta}{2} \\
\sin \frac{\beta}{2} & \cos \frac{\beta}{2} \end{pmatrix} \\
&R_z(\gamma)=\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\gamma}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\gamma}{2}} \end{pmatrix}
\end{align}
である。


clip003.jpg

図1.5:任意のユニタリ-変換

任意のユニタリー変換には、
上で示したNOTゲートなどのユニタリー変換が含まれている。

この1ビットの任意のユニタリー変換の、物理的な実現方法は、
量子計算機の設計の章で述べる。